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计算机图形学应用 | 张盼的博客

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罗德里格公式推导及理解

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在计算机图形学里，我们时常有这种需求，求一个向量绕任意轴旋转 θ\theta 后的向量是多少。我们可以使用罗德里格公式解得。

罗德里格公式:

vrot=cos⁡θv+(1−cos⁡θ)(v⋅k)k+sin⁡θk×vv_{rot}=\cos\theta v+(1-\cos\theta)(v \cdot k)k+\sin\theta k \times v

其中，θ\theta 为旋转角度，vv为待旋转向量，kk为旋转轴（单位向量），vrotv_{rot}为旋转后的向量。

推导:

先看图，vv为待旋转向量，kk为旋转轴，v∥v_{\parallel} 为与kk平行的vv分量，v⊥v_{\perp}为与kk垂直的vv分量，v∥v_{\parallel}、v⊥v_{\perp}、vv、kk在同一平面上（由vv和kk确定的平面），ww是该平面的法向量。vrotv_{rot}是旋转后的向量。

由以上可知，

{v=v⊥+v∥v∥=(v⋅k)k⇒v⊥=v−v∥=v−(v⋅k)kw=k×vvrot⊥=cos⁡θv⊥+sin⁡θw\begin{cases} v=v_{\perp}+v_{\parallel}\\ v_{\parallel}=(v\cdot k)k \end{cases}\rArr v_{\perp}=v-v_{\parallel}=v-(v\cdot k)k\\ w=k \times v\\ \color{red} v_{rot\perp}=\cos\theta v_{\perp}+\sin\theta w

敲黑板（划重点):vrot⊥v_{rot\perp}是vrotv_{rot}在v⊥v_{\perp}与ww构成的平面上的分量，cos⁡θv⊥\cos\theta v_{\perp}是vrot⊥v_{rot\perp}在v⊥v_{\perp}上的分量（为叙述方便记为 a），sin⁡θw\sin\theta w是vrot⊥v_{rot\perp}在ww上的分量（记为 b），a 很好理解，b 可以这样看:vrot⊥v_{rot\perp}的模等于v⊥v_{\perp}的模等于ww的模，相信有些人疑问为什么等于ww的模？

因为

k×v⊥=w∣k∣⋅∣v⊥∣⋅sin⁡π2=∣w∣∣v⊥∣=∣w∣k\times v_{\perp}=w\\ \lvert k\rvert\cdot \lvert v_{\perp}\rvert\cdot\sin\frac\pi 2=\lvert w\rvert\\ \lvert v_{\perp}\rvert=\lvert w\rvert

所以

∣b∣=sin⁡θ∣vrot⊥∣∣b∣=sin⁡θ∣w∣\lvert b\rvert=\sin\theta\lvert v_{rot\perp}\rvert\\ \lvert b\rvert=\sin\theta\lvert w\rvert

而

b=∣b∣⋅w∣w∣b=\lvert b\rvert\cdot\frac w{\lvert w\rvert}

即

b=sin⁡θ∣w∣⋅w∣w∣=sin⁡θwb=\sin\theta\lvert w\rvert\cdot\frac w{\lvert w\rvert}=\sin\theta w

综上所述，我们可知

vrot=v∥+vrot⊥⇓vrot=(v⋅k)k+cos⁡θv⊥+sin⁡θw⇓vrot=(v⋅k)k+cos⁡θ(v−(v⋅k)k)+sin⁡θk×vv_{rot}=v_{\parallel}+v_{rot\perp}\\ \dArr\\ v_{rot}=(v\cdot k)k+\cos\theta v_{\perp}+\sin\theta w\\ \dArr\\ v_{rot}=(v\cdot k)k+\cos\theta (v-(v\cdot k)k)+\sin\theta k\times v

化简

vrot=cos⁡θv+(1−cos⁡θ)(v⋅k)k+sin⁡θk×vv_{rot}=\cos\theta v+(1-\cos\theta)(v\cdot k)k+\sin\theta k\times v

上述是第一种公式，还有第二种公式，不过换汤不换药，只是将v⊥v_{\perp}用叉乘来表示，即v⊥=−k×(k×v)v_{\perp}=-k\times (k\times v)，感兴趣的朋友可以自行推导一番，结果为

v+(1−cos⁡θ)k×(k×v)+sin⁡θk×vv+(1-\cos\theta)k\times(k\times v)+\sin\theta k\times v